Formula pentru a calcula distribuția binomială
Formula de distribuție binomială este utilizată pentru a calcula probabilitatea de a obține x succese în n încercările experimentului binomial care sunt independente și probabilitatea este derivată prin combinația dintre numărul de încercări și numărul de succese reprezentate de nCx este înmulțit cu probabilitatea succesului crescut la puterea numărului de succese reprezentat de px care este înmulțit în continuare cu probabilitatea eșecului ridicat la puterea diferenței dintre numărul succesului și numărul încercărilor reprezentate de (1-p) nx.
Probabilitatea de a obține x succese în n studii independente ale unui experiment binomial este dată de următoarea formulă de distribuție binomială:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
unde p este probabilitatea de succes
În ecuația de mai sus, se folosește n C x , care nu este altceva decât o formulă de combinație. Formula pentru calcularea combinațiilor este dată ca n C x = n! / X! (nx)! unde n reprezintă numărul de itemi (încercări independente), iar x reprezintă numărul de itemi selectați la un moment dat (succese).
În cazul n = 1 într-o distribuție binomială, distribuția este cunoscută sub numele de distribuție Bernoulli. Media unei distribuții binomiale este np. Varianța distribuției binomiale este np (1-p).
Calculul distribuției binomiale (pas cu pas)
Calculul distribuției binomiale poate fi derivat utilizând următorii patru pași simpli:
- Pasul 1: Calculați combinația dintre numărul de încercări și numărul de reușite. Formula pentru n C x este unde n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. Pentru un număr n, factorialul lui n poate fi scris ca n! = n * (n-1)! De exemplu, 5! este 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Pasul 2: Calculați probabilitatea de succes crescută la puterea numărului de succese care sunt p x .
- Pasul 3: Calculați probabilitatea de eșec crescută la puterea diferenței dintre numărul de reușite și numărul de încercări. Probabilitatea de eșec este 1-p. Astfel, aceasta se referă la obținerea (1-p) nx
- Pasul 4: Aflați produsul rezultatelor obținute la Pasul 1, Pasul 2 și Pasul 3.
Exemple
Exemplul nr. 1
Numărul de studii (n) este 10. Probabilitatea de succes (p) este de 0,5. Faceți calculul distribuției binomiale pentru a calcula probabilitatea de a obține exact șase succese.
Soluţie:
Utilizați următoarele date pentru calcularea distribuției binomiale.
Calculul distribuției binomiale se poate face după cum urmează,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Probabilitatea de a obține exact 6 succese va fi-
P (x = 6) = 0,2051
Probabilitatea de a obține exact 6 succese este de 0,2051
Exemplul nr. 2
Un manager al unei companii de asigurări trece prin datele polițelor de asigurare vândute de vânzătorii de asigurări care lucrează sub el. El constată că 80% dintre persoanele care cumpără asigurări auto sunt bărbați. El vrea să afle că, dacă 8 proprietari de asigurări auto sunt selectați aleatoriu, care ar fi probabilitatea ca exact 5 dintre ei să fie bărbați.
Soluție: Mai întâi trebuie să aflăm ce sunt n, p și x.
Calculul distribuției binomiale se poate face după cum urmează,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Probabilitatea de a avea exact 5 succese va fi-
P (x = 5) = 0.14680064
Probabilitatea ca exact 5 proprietari de asigurări auto să fie bărbați este de 0.14680064.
Exemplul nr. 3
Conducerea spitalului este încântată de introducerea unui nou medicament pentru tratarea pacienților cu cancer, deoarece șansa ca o persoană să fie tratată cu succes de acesta este foarte mare. Probabilitatea ca un pacient să fie tratat cu succes de medicament este de 0,8. Medicamentul este administrat la 10 pacienți. Găsiți probabilitatea ca 9 sau mai mulți pacienți să fie tratați cu succes de acesta.
Soluție: Mai întâi trebuie să aflăm ce este n, p și x.
Trebuie să găsim probabilitatea ca 9 sau mai mulți pacienți să fie tratați cu succes de acesta. Astfel, fie 9, fie 10 pacienți sunt tratați cu succes de acesta
x (un număr pentru care trebuie să găsiți o probabilitate) = 9 sau x = 10
Trebuie să găsim P (9) și P (10)
Calculul distribuției binomiale pentru a găsi P (x = 9) se poate face după cum urmează,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2) 1
= 10 * 0.134217728 * 0.2
Probabilitatea de 9 pacienți va fi-
P (x = 9) = 0,2684
Calculul distribuției binomiale pentru a găsi P (x = 10) se poate face după cum urmează,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0.107374182 * 1
Probabilitatea a 10 pacienți va fi-
P (x = 10) = 0,1074
Prin urmare, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Astfel, probabilitatea ca 9 sau mai mulți pacienți să fie tratați cu medicamentul este de 0,375809638.
Calculator de distribuție binomială
Puteți utiliza următorul calculator de distribuție binomială.
| n | |
| p | |
| X | |
| Formula de distribuție binomială = | |
| Formula de distribuție binomială = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevanță și utilizare
- Există doar două rezultate
- Probabilitatea fiecărui rezultat rămâne constantă de la proces la proces
- Există un număr fix de încercări
- Fiecare proces este independent, adică, se exclude reciproc
- Ne oferă distribuția în frecvență a numărului posibil de rezultate de succes într-un număr dat de studii în care fiecare dintre aceste studii date are aceeași probabilitate de succes.
- Fiecare proces dintr-un experiment binomial poate duce la doar două rezultate posibile. Prin urmare, numele este „binom”. Unul dintre aceste rezultate este cunoscut sub numele de succes și celălalt ca un eșec. De exemplu, persoanele bolnave pot răspunde sau nu la tratament.
- În mod similar, atunci când aruncăm o monedă, putem avea doar două tipuri de rezultate: capete sau cozi. Distribuția binomială este o distribuție discretă utilizată în statistici, care este diferită de o distribuție continuă.
Un exemplu de experiment binomial este aruncarea unei monede, să zicem de trei ori. Când răsucim o monedă, sunt posibile doar două rezultate - capete și cozi. Probabilitatea fiecărui rezultat este de 0,5. Deoarece moneda este aruncată de trei ori, numărul de încercări este fix, adică 3. Probabilitatea fiecărei aruncări nu este influențată de alte aruncări.
Distribuția binomială își găsește aplicațiile în statistica științelor sociale. Acesta este utilizat pentru dezvoltarea de modele pentru variabilele de rezultat dihotomice în care există două rezultate. Un exemplu în acest sens este dacă republicanii sau democrații ar câștiga alegerile.
Formula de distribuție binomială în Excel (cu șablon excel)
Saurabh a aflat despre ecuația distribuției binomiale în școală. El vrea să discute conceptul cu sora lui și să parieze cu ea. S-a gândit că va arunca o monedă imparțială de zece ori. El vrea să parieze 100 de dolari pentru a obține exact cinci cozi în 10 aruncări. Pentru acest pariu, el vrea să calculeze probabilitatea de a obține exact cinci cozi în 10 aruncări.
Soluție: Mai întâi trebuie să aflăm ce este n, p și x.
Există o formulă încorporată pentru distribuția binomială este Excel, care este
Este BINOM.DIST (număr de succese, încercări, o probabilitate de succes, FALS).
Pentru acest exemplu de distribuție binomială ar fi:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) unde celula B2 reprezintă numărul de succese, celula B3 reprezintă numărul de încercări, iar celula B4 reprezintă probabilitatea de succes.
Prin urmare, calculul Distribuției binomiale va fi-
P (x = 5) = 0,24609375
Probabilitatea de a obține exact 5 cozi în 10 aruncări este de 0,24609375
Notă: FALS în formula de mai sus denotă funcția de probabilitate a masei. Calculează probabilitatea de a exista exact n succese din n studii independente. TRUE denotă funcția de distribuție cumulativă. Calculează probabilitatea de a avea cel mult x succese din n studii independente.
