Definiția teoremei limitei centrale
Teorema limitei centrale afirmă că eșantioanele aleatorii ale unei variabile aleatoare ale populației cu orice distribuție se vor apropia de a fi o distribuție normală a probabilității pe măsură ce mărimea eșantionului crește și se presupune că, pe măsură ce dimensiunea eșantionului în populație depășește 30, media din eșantion, care media tuturor observațiilor pentru eșantion va fi aproape de egală cu media pentru populație.
Formula teoremei limitei centrale
Am discutat deja că, atunci când dimensiunea eșantionului depășește 30, distribuția ia forma unei distribuții normale. Pentru determinarea distribuției normale a unei variabile, este important să se cunoască media și varianța acesteia. O distribuție normală poate fi declarată ca
X ~ N (µ, α)
Unde
- N = numărul de observații
- µ = media observațiilor
- α = abaterea standard
În majoritatea cazurilor, observațiile nu dezvăluie prea multe în forma sa brută. Deci, este vital să standardizați observațiile pentru a putea compara acest lucru. Se face cu ajutorul scorului z. Este necesar să se calculeze scorul Z pentru o observație. Formula pentru calcularea scorului z este
Z = (X- u) / α / √n
Unde
- Z = scor Z al observațiilor
- µ = media observațiilor
- α = abaterea standard
- n = dimensiunea eșantionului
Explicaţie
Teorema limitei centrale afirmă că eșantioanele aleatorii ale unei variabile ale populației aleatorii cu orice distribuție se vor apropia de a fi o distribuție normală de probabilitate pe măsură ce mărimea eșantionului crește. Teorema limitei centrale presupune că, deoarece dimensiunea eșantionului în populație depășește 30, media eșantionului, care media tuturor observațiilor pentru eșantion, va fi aproape de egală cu media pentru populație. De asemenea, abaterea standard a eșantionului atunci când dimensiunea eșantionului depășește 30 va fi egală cu abaterea standard a populației. Deoarece eșantionul este ales aleatoriu din întreaga populație și dimensiunea eșantionului este mai mare de 30, atunci ajută la testarea ipotezelor și la construirea intervalului de încredere pentru testarea ipotezei.
Exemple de formulă a teoremei limitei centrale (cu șablon Excel)
Exemplul nr. 1
Să înțelegem conceptul unei distribuții normale cu ajutorul unui exemplu. Randamentul mediu dintr-un fond mutual este de 12%, iar abaterea standard de la randamentul mediu pentru investiția în fondul mutual este de 18%. Dacă presupunem că distribuția randamentului este distribuită în mod normal, atunci să interpretăm distribuția rentabilității în investiția fondului mutual.
Dat,
- Randamentul mediu pentru investiție va fi de 12%
- Abaterea standard va fi de 18%
Deci, pentru a afla randamentul pentru un interval de încredere de 95%, îl putem afla rezolvând ecuația ca
- Gama superioară = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Interval inferior = 12 - 1,96 (18) = -23%
Rezultatul înseamnă că 95% din timp, rentabilitatea fondului mutu va fi în intervalul 47% -23%. În acest exemplu, mărimea eșantionului, care este returnarea unui eșantion aleatoriu de peste 30 de observații de returnare, ne va oferi rezultatul pentru returnarea populației a fondului mutual, deoarece distribuția eșantionului va fi distribuită în mod normal.
Exemplul nr. 2
Continuând cu același exemplu, să stabilim care va fi rezultatul pentru un interval de încredere de 90%
Dat,
- Randamentul mediu pentru investiție va fi de 12%
- Abaterea standard va fi de 18%
Deci, pentru a afla randamentul pentru un interval de încredere de 90%, îl putem afla rezolvând ecuația ca
- Gama superioară = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Interval inferior = 12 - 1,65 (18) = -18%
Rezultatul înseamnă că 90% din timp, rentabilitatea fondului mutual va fi în intervalul 42% până la -18%.
Exemplul nr. 3
Continuând cu același exemplu, să stabilim care va fi rezultatul pentru un interval de încredere de 99%
Dat,
- Randamentul mediu pentru investiție va fi de 12%
- Abaterea standard va fi de 18%
Deci, pentru a afla randamentul pentru un interval de încredere de 90%, îl putem afla rezolvând ecuația ca
- Gama superioară = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Interval inferior = 12 - 2,58 (18) = -34%
Rezultatul semnifică faptul că 99% din timp, rentabilitatea fondului mutual va fi cuprinsă între 58% și -34%.
Relevanță și utilizare
Teorema limită centrală este extrem de benefică, deoarece permite cercetătorului să prezică media și abaterea standard a întregii populații cu ajutorul eșantionului. Deoarece eșantionul este ales aleatoriu din întreaga populație și dimensiunea eșantionului este mai mare de 30, atunci orice dimensiune aleatorie a eșantionului prelevată din populație se va apropia de distribuirea normală, ceea ce va ajuta la testarea ipotezelor și la construirea intervalului de încredere testarea ipotezelor. Pe baza teoremei limitei centrale, cercetătorul poate alege orice eșantion aleatoriu din întreaga populație, iar atunci când dimensiunea eșantionului este mai mare de 30,atunci poate prezice populația cu ajutorul eșantionului, deoarece eșantionul va urma o distribuție normală și, de asemenea, ca medie și abaterea standard a eșantionului vor fi aceleași cu media și abaterea standard a populației.
