Funcția Totient a lui Euler - semnificație, exemple, cum se calculează?

Ce este funcția Totient a lui Euler?

Funcția Totient a lui Euler este funcțiile multiplicative matematice care numără numerele întregi pozitive până la numărul întreg dat numit în general ca „n” care sunt un număr prim la „n” și funcția este utilizată pentru a cunoaște numărul de numere prime care există până la dat întreg 'n'.

Explicaţie

Pentru a cunoaște câte numere prime se apropie de funcția totientă a lui Euler, se folosește întregul. Se mai numește și funcție aritmetică. Pentru o aplicație sau utilizarea funcției Totient a lui Euler, două lucruri sunt importante. Unul este că mcd-ul format din întregul „n” dat ar trebui să fie multiplicativ între ele, iar celălalt este numerele lui mcd ar trebui să fie doar numerele prime. Numărul întreg 'n' în acest caz ar trebui să fie mai mare de 1. Dintr-un număr întreg negativ, nu este posibil să se calculeze funcția totientului lui Euler. Principiul, în acest caz, este că pentru ϕ (n), multiplicatorii numiți m și n ar trebui să fie mai mari decât 1. Prin urmare, notat cu 1

Istorie

Euler a introdus această funcție în 1763. Inițial, Euler a folosit grecescul π pentru denotarea funcției, dar din cauza unor probleme, denotarea sa de grecesc π nu a primit recunoașterea. Și nu a reușit să-i dea semnul de notare adecvat, adică, ϕ. Prin urmare, funcția nu poate fi introdusă. Mai mult, ϕ a fost preluat din Disquisitiones Arithmeticae ale lui Gauss din 1801. Funcția este denumită și funcție phi. Dar JJ Sylvester, în 1879, a inclus termenul totient pentru această funcție datorită proprietăților și utilizărilor funcțiilor. Diferitele reguli sunt încadrate pentru a face față diferitelor tipuri de numere întregi date cum ar fi dacă întregul p este un număr prim, atunci care regulă să fie aplicată etc. la fel.

Proprietățile funcției Totient ale lui Euler

Există câteva dintre proprietățile diferite. Unele dintre proprietățile funcției totient ale lui Euler sunt ca în:

  • Φ este simbolul folosit pentru a indica funcția.
  • Funcția tratează teoria numerelor prime.
  • Funcția este aplicabilă numai în cazul numerelor întregi pozitive.
  • Pentru ϕ (n), se găsesc două numere prime multiplicative pentru a calcula funcția.
  • Funcția este o funcție matematică și utilă în multe moduri.
  • Dacă numărul întreg 'n' este un număr prim, atunci mcd (m, n) = 1.
  • Funcția funcționează pe formula 1 <m <n unde m și n sunt numerele prime și numerele multiplicative.
  • În general, ecuația este
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funcția contează practic numărul întregului pozitiv mai mic decât întregul dat, care este un număr relativ relativ la întregul dat.
  • Dacă dat întreg p este prim atunci ϕ (p) = p - 1
  • Dacă puterea lui p este primă atunci, dacă a = p n este o putere primă atunci ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nu este unul - unul
  • ϕ (n) nu este pe.
  • ϕ (n), n> 3 este întotdeauna egal.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Calculați funcția Totient a lui Euler

Exemplul nr. 1

Calculați ϕ (7)?

Soluţie:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Deoarece toate numerele sunt prime la 7, prin urmare a facilitat calcularea ϕ.

Exemplul nr. 2

Calculați ϕ (100)?

Soluţie:

Deoarece 100 este un număr mare, deci este nevoie de timp pentru a calcula de la 1 la 100 numerele prime care sunt numere prime cu 100. Prin urmare, aplicăm formula de mai jos:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Exemplul nr. 3

Calculați ϕ (240)?

Multiplii de 240 sunt 16 * 5 * 3 adică 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

dacă n M nu este numărul prim, vom folosi n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Exemplul # 4

Calculați ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplicații

Diferitele aplicații sunt după cum urmează:

  • Funcția este utilizată pentru definirea sistemului de criptare RSA utilizat pentru criptarea securității internetului.
  • Folosit în teoria numerelor prime.
  • Utilizat și în calcule mari.
  • Folosit în aplicații ale teoriei numerelor elementare.

Concluzie

Funcția totient a lui Euler este utilă în multe feluri. Este utilizat în sistemul de criptare RSA, care este utilizat în scopuri de securitate. Funcția se ocupă de teoria numerelor prime și este utilă și în calculul calculelor mari. Funcția este utilizată și în calculele algebrice și numerele elementare. Simbolul folosit pentru a indica funcția este is și se mai numește și funcție phi. Funcția constă mai degrabă în utilizare teoretică decât în ​​utilizare practică. Utilizarea practică a funcției este limitată. Funcția poate fi mai bine înțeleasă prin diferite exemple practice, mai degrabă decât prin explicații teoretice. Există diferite reguli pentru calcularea funcției totientului lui Euler și, pentru numere diferite, trebuie aplicate reguli diferite. Funcția a fost introdusă pentru prima dată în 1763, dar din cauza unor probleme,a primit recunoaștere în 1784, iar numele a fost modificat în 1879. Funcția este o funcție universală și poate fi aplicată peste tot.

Articole interesante...