Definiția distribuției hipergeometrice
În statistici și teoria probabilității, distribuția hipergeometrică este în esență o distribuție de probabilitate distinctă care definește probabilitatea de k succese (adică unele extrageri aleatorii pentru obiectul desenat care are o anumită trăsătură specificată) în n nicio extragere, fără nicio înlocuire, dintr-o dată dimensiunea populației N care include cu precizie K obiecte care au acea caracteristică, unde extragerea poate avea succes sau poate eșua.
Formula pentru probabilitatea unei distribuții hipergeometrice este derivată folosind un număr de itemi din populație, numărul de itemi din eșantion, numărul de succese din populație, numărul de succese din eșantion și puține combinații. Matematic, probabilitatea este reprezentată ca,
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
Unde,
- N = numărul de articole din populație
- n = numărul de articole din eșantion
- K = Nr. De succese în populație
- k = numărul de succese din eșantion
Media și deviația standard a unei distribuții hipergeometrice este exprimată ca,
Media = n * K / N Abaterea standard = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Explicaţie
Pasul 1: În primul rând, determinați numărul total de obiecte din populație, care este notat cu N. De exemplu, numărul de cărți de joc într-un pachet este de 52.
Pasul 2: Apoi, determinați numărul de articole din eșantion, notat cu n-de exemplu, numărul de cărți extrase din pachet.
Pasul 3: În continuare, determinați cazurile care vor fi considerate a fi succese în populație și este notat de K. De exemplu, numărul de inimi din pachetul general, care este 13.
Pasul 4: Apoi, determinați instanțele care vor fi considerate a fi succese în eșantionul extras și este notat cu k. De exemplu, numărul de inimi din cărțile extrase din pachet.
Pasul 5: În cele din urmă, formula pentru probabilitatea unei distribuții hipergeometrice este derivată folosind un număr de itemi din populație (pasul 1), numărul de itemi din eșantion (pasul 2), numărul de succese în populație (pasul 3) și numărul de succese din eșantion (pasul 4), așa cum se arată mai jos.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nExemple de distribuție hipergeometrică (cu șablon Excel)
Exemplul nr. 1
Să luăm exemplul unei pachete obișnuite de cărți de joc în care 6 cărți sunt trase la întâmplare fără înlocuire. Determinați probabilitatea de a extrage exact 4 cărți roșii, adică diamante sau inimi.
- Dat, N = 52 (deoarece există 52 de cărți într-un pachet obișnuit de joc)
- n = 6 (Numărul de cărți extrase aleatoriu din pachet)
- K = 26 (deoarece există 13 cărți roșii fiecare în suita cu diamante și inimi)
- k = 4 (Numărul de cărți roșii care trebuie considerate reușite în eșantionul extras)
Soluţie:
Prin urmare, probabilitatea de a extrage exact 4 cărți roșii în cele 6 cărți trase poate fi calculată folosind formula de mai sus ca,
Probabilitate = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6
= 26 C 4 * 26 C cu 2 / 52 la C 6
= 14950 * 325/20358520
Probabilitatea va fi -
Probabilitate = 0,2387 ~ 23,87%
Prin urmare, există o probabilitate de 23,87% de a extrage exact 4 cărți roșii în timp ce extrageți 6 cărți aleatorii dintr-un pachet obișnuit.
Exemplul nr. 2
Să luăm un alt exemplu de portofel care conține 5 facturi de 100 USD și 7 facturi de 1 USD. Dacă 4 facturi sunt alese la întâmplare, atunci determinați probabilitatea de a alege exact 3 facturi de 100 USD.
- Date, N = 12 (Număr de facturi de 100 USD + Număr de facturi de 1 USD)
- n = 4 (Numărul de facturi alese la întâmplare)
- K = 5 (deoarece există 5 facturi de 100 USD)
- k = 3 (Numărul de facturi de 100 USD care trebuie considerat un succes în eșantionul ales)
Soluţie:
Prin urmare, probabilitatea de a alege exact 3 facturi de 100 USD în cele 4 facturi alese aleatoriu poate fi calculată folosind formula de mai sus ca,
Probabilitate = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4
= 5 C 3 * 7 C 1 / de 12 C 4
= 10 * 7/495
Probabilitatea va fi -
Probabilitate = 0,1414 ~ 14,14%
Prin urmare, există o probabilitate de 14,14% să alegeți exact 3 facturi de 100 USD în timp ce extrageți 4 facturi aleatorii.
Relevanță și utilizări
Conceptul de distribuție hipergeometrică este important deoarece oferă un mod precis de determinare a probabilităților atunci când numărul de studii nu este un număr foarte mare și că eșantioanele sunt prelevate dintr-o populație finită fără înlocuire. De fapt, distribuția hipergeometrică este analogă cu distribuția binomială, care este utilizată atunci când numărul studiilor este substanțial mare. Cu toate acestea, distribuția hipergeometrică este utilizată predominant pentru eșantionare fără înlocuire.
