Ce este distribuția Log-Normal?
O distribuție log-normală este o distribuție continuă a variabilelor aleatorii ale căror logaritmi sunt distribuiți în mod normal. Cu alte cuvinte, distribuția lognormală este generată de funcția lui e x , unde se presupune că x (variabila aleatorie) este distribuită în mod normal. În logaritmul natural al lui e x este x, logaritmii variabilelor aleatorii distribuite în mod normal sunt distribuite în mod normal.
O variabilă X este distribuită în mod normal dacă Y = ln (X), unde ln este logaritmul natural.
- Y = e x
- Să presupunem un logaritm natural pe ambele părți.
- lnY = ln e x care rezultă în lnY = x
Prin urmare, putem spune, dacă X fiind o variabilă aleatorie are o distribuție normală, atunci Y are o distribuție lognormală.
Formula de distribuție Log-Normal
Formula pentru funcția densității de probabilitate a distribuției lognormale este definită de media μ și abaterea standard σ, care este notată prin:
Parametrii de distribuție Log-Normal
Distribuția log-normală se caracterizează prin următorii trei parametri:
- σ , abaterea standard a jurnalului distribuției, care se numește și parametru de formă. Parametrul de formă afectează în general forma generală a distribuției lognormale, dar nu afectează locația și înălțimea graficului.
- m , mediana distribuției, cunoscută și sub numele de parametru de scară.
- Θ , parametrul de localizare care este utilizat pentru a localiza graficul pe axa x.
Media și deviația standard sunt doi parametri majori ai distribuției lognormale și este definită în mod explicit de acești doi parametri.
Figura următoare ilustrează distribuția normală și distribuția log-normală.
Din figura de mai sus, am putea observa următoarele caracteristici ale distribuției log-normale.
- Distribuțiile log-normale sunt înclinate pozitiv spre dreapta din cauza valorilor medii mai mici și a varianței mai mari a variabilelor aleatorii din considerații.
- Distribuția lognormală este întotdeauna mărginită de mai jos cu 0, deoarece ajută la modelarea prețurilor activelor, care nu sunt de așteptat să aibă valori negative.
- Distribuția lognormală este înclinată pozitiv cu un număr mare de valori mici și include câteva valori majore, care au ca rezultat o medie mai mare decât modul foarte des.
Din figura de mai sus, am putut observa că distribuția log-normală este mărginită de 0 și este înclinată pozitiv spre dreapta, ceea ce ar putea fi observat prin coada sa lungă spre dreapta. Aceste două observații sunt considerate a fi proprietățile majore ale distribuțiilor lognormale. În practică, distribuțiile lognormale s-au dovedit foarte utile în distribuția capitalurilor proprii sau a prețurilor activelor, în timp ce distribuția normală este foarte utilă în estimarea rentabilităților preconizate ale activului pe o perioadă de timp.
Exemple de distribuție Log-Normal
Următoarele sunt câteva exemple în care pot fi utilizate distribuții log-normale:
- Volumul de gaze din rezerva de energie și petrol.
- Volumul producției de lapte.
- Cantitatea de precipitații.
- Viața potențială a unităților industriale și industriale ale căror șanse de supraviețuire sunt caracterizate de rata de stres.
- Măsura perioadelor în care există orice boală infecțioasă.
Aplicație și utilizări ale distribuției log-normale
Următoarele sunt aplicații și utilizări ale distribuției log-normale.
- Cea mai frecvent utilizată și populară distribuție este o distribuție normală, care este distribuită în mod normal și simetrică și formează o curbă în formă de clopot care a modelat diverse naturale de la simple la foarte complexe.
- Dar există cazuri în care distribuția normală se confruntă cu constrângeri în care distribuția lognormală poate fi aplicată cu ușurință. Distribuția normală poate lua în considerare o variabilă aleatorie negativă, dar distribuția lognormală are în vedere doar variabile aleatoare pozitive.
- Una dintre diferitele aplicații în care distribuția lognormală este utilizată în finanțe, unde este aplicată în analiza prețurilor activelor. Randamentul preconizat al activelor este reprezentat grafic într-o distribuție normală, dar prețurile activelor sunt reprezentate grafic într-o distribuție lognormală.
- Cu ajutorul curbei lognormale de distribuție, putem calcula cu ușurință rata compusă a rentabilității activelor pe o perioadă de timp.
- În cazul în care am aplicat o distribuție normală pentru a calcula prețurile activelor pe o perioadă de timp, există posibilități de a obține randamente mai mici de -100%, ceea ce presupune ulterior prețurile activelor mai mici de 0. Dar dacă folosim distribuția lognormală pentru a estima compusul rata de rentabilitate pe o perioadă de timp, putem evita cu ușurință situația obținerii de randamente negative, deoarece distribuția lognormală ia în considerare doar variabile aleatorii pozitive.
- O relativă a prețului este prețul activului la sfârșitul perioadei împărțit la prețul inițial al activului, care este egal cu 1 plus returnările perioadei de deținere. Pentru a găsi sfârșitul activului prețului perioadei, putem obține același lucru înmulțindu-l cu prețul relativ de prețul activului inițial. Distribuția lognormală ia doar valoare pozitivă; prin urmare, prețul activului la sfârșitul perioadei nu poate fi sub 0.
Distribuție log-normală în modelarea prețurilor acțiunilor
Distribuția log-normală a fost utilizată pentru modelarea distribuției probabilității stocului și a multor alte prețuri ale activelor. De exemplu, am observat apariția ființei lognormale în modelul de stabilire a prețurilor opțiunii Black-Scholes-Merton, unde se presupune că prețul unei opțiuni a activelor subiacente este distribuit lognormal în același timp.
Concluzie
- Distribuția normală este distribuția probabilității, despre care se spune că este curba asimetrică și în formă de clopot. Într-o distribuție normală, 69% din rezultat se încadrează într-o abatere standard, iar 95% se încadrează în cele două abateri standard.
- Datorită popularității distribuției normale, majoritatea oamenilor sunt familiarizați cu conceptul și aplicația distribuției normale, dar la momentul respectiv nu par la fel de familiarizați cu conceptul distribuției lognormale. Distribuția normală poate fi convertită în distribuție lognormală cu ajutorul logaritmilor, care devine baza fundamentală deoarece distribuțiile lognormale consideră singura variabilă aleatorie care este distribuită în mod normal.
- Distribuțiile lognormale pot fi utilizate împreună cu distribuția normală. Distribuțiile lognormale sunt rezultatul presupunerii ln, logaritm natural în care baza este egală cu e = 2,718. În plus față de baza dată, distribuția lognormală ar putea fi realizată folosind o altă bază, care ar avea un impact ulterior asupra formei distribuției lognormale.
- Distribuția lognormal graficează jurnalul variabilelor aleatorii distribuite în mod normal din curbele de distribuție normale. Se cunoaște ln, logul natural e, exponent la care ar trebui ridicată o bază pentru a obține variabila aleatoare dorită x, care ar putea fi găsită pe curba de distribuție normală.
